僕の筋トレ備忘録

筋トレ歴5年、ボディビル出場の経験を活かし、真面目に筋トレを議論、科学するブログ

【数学】円周率の本質に迫る!あなたが勉強した「円」は〇じゃない⁉

今回も現役理系大学院生による数学ネタです。

 

この記事タイトルをどうするか迷ったんですよね~(笑)。「あなたが勉強したのは円じゃない⁉」にしたら日本円の「円」が想像できて、投資とか為替取引の記事だと思われるじゃないですか。

自分そこまで意識高げというか頭良さげな記事は書けないんで…

 

だから本当は「円」と言いたいところを「丸」としたんですが、左バッターで、大胆なオープンスタンスが特徴的で、ポジションは外野手、広島カープに所属していたが、今期のオフに巨人にトレードされた選手。を想像した方は僕と話が合いそうな気がします(笑)。

 

あ、いい感じにタイトルが決まりました!

 

はい、こんな茶番はここまでにして、円(〇)の話です。

 

皆さんは円周率というものを知っていますか?円の面積とか円周を求める際に必要な数字ですよね。

(円の面積)=(半径)×(半径)×(円周率)  ・・・①
(円周)=2×(半径)×(円周率)=(直径)×(円周率)  ・・・②

 で、この数字どのくらいか知ってます?

僕と同じ世代の人は3.14で習ったと思います。さらにゆとり世代では円周率=3で習ったとか。

 

ただ、円周率が3.14かとか3かとかどうでもいいんです。それは所詮円じゃないから!

円周率が3.14っていう数字だと思っている人はヤバいです。何にもわかってない。まあ、その人が悪いんじゃなくてそれを教えてない小学校の先生が悪いんですけどね。

 

円周率とは円周と直径の比です。具体的には(円周)÷(直径)が円周率です。上の②の式を式変形したら容易に導けます。これを知っていないと何の意味もない。

「円周と直径の比が円周率と呼ばれる数字でそれがだいたい3.14くらいになる」

という事実が大切なんです。それが円周率の本質的な意味で、数学を勉強する意味だと思います。

それをすっとばして円周率は3.14っていう数字だよ~って教えている小学校の先生はヤバい。数字を知っていてもその意味を知っていないと何の意味もないです。

円周率を100桁暗記してるけど、円周率って何なの?って聞かれたらわからないって答える人は変でしょ?滑稽でしょ?でも、3.14だけ覚えていて円周率の意味を知らない人も同様に滑稽だと思いますよ?100桁か3桁かの違いだけで本質的には同じですから。

 

と、まあ、小学校の先生の悪口はここまでにして、いろんな図形の円周率を考えてみたいと思います。正確には円ではないので円周率と呼ぶのは間違いかもしれませんが。

 

※ここから簡単な算数をします。数学アレルギーの方は下の結論だけご覧ください。

まず簡単に正六角形を考えます。これですね。ベンゼン環の形です。

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  1. n角形の内角の和は180(n-2)で表されるので(中3くらいで習います)、六角形の内角の和は180°×(6-2)=720°。正六角形では6個の角があるから1つ当たり720÷6=120°。
  2. 各頂点から中心に向かって線を引く。その結果、三角形が6つできる。その中心角は6個あり、6個で一周分=360°になるので、1つ当たりの中心角は360÷6=60°。
  3. 各頂点から中心に引いた線は半径にあたるのですべて長さは等しい。したがって、この三角形は二等辺三角形。中心角が60°なので底辺の角はそれぞれ(180-60)÷2=60°。(二等辺三角形の底角はそれぞれ等しい。)したがって、6つの三角形はすべて正三角形!
  4. 正六角形の一辺の長さを1とすると、直径は1+1=2。
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ここから円周率=(円周)÷(直径)は(1×6)÷2=3。

 

結論!

円周率3なら正六角形にしかならん!

 

なるほど、円周率が3と習ったゆとり世代は正六角形を円だと思い込んで、学習していたんですね。皆が円だ円だと思っていた図形は実際はただの正六角形。悲しいですね…

 

で、3.14か何か知りませんが、あなたが覚えている円周率は何角形になるんでしょうか。

 

 

※ここからはかなりの数学マニアでしか興味ないし、読まないと思うので計算過程は端折ります。また、計算が面倒なので偶数角形を想定させてください。(直径が中心をと通るという仮定を使いたいので。)

 

で、計算した結果がこちらです。

 (円周率) = nsin(180/n)     (nは偶数)

エクセルで計算させると

円周÷直径
4 2.82842712
6 3
8 3.06146746
10 3.09016994
12 3.10582854
14 3.11529308
16 3.12144515
18 3.1256672
20 3.1286893
22 3.13092644
24 3.13262861
26 3.13395369
28 3.13500533
30 3.1358539
32 3.13654849
34 3.13712422
36 3.13760674
38 3.13801513
40 3.13836383
42 3.13866393
44 3.13892406
46 3.13915101
48 3.1393502
50 3.13952598
52 3.13968187
54 3.13982076
56 3.13994505
58 3.1400567
60 3.14015737
62 3.14024847
64 3.14033116
66 3.14040644
68 3.14047519
70 3.14053812
72 3.14059589
74 3.14064904
76 3.14069804
78 3.14074333
80 3.14078526
82 3.14082416
84 3.14086032
86 3.14089398
88 3.14092538
90 3.1409547
92 3.14098214
94 3.14100784
96 3.14103195
98 3.1410546
100 3.14107591

 

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すなわち、円周率が3.14といっても所詮、正五十八角形でしかないということですね。

 

グラフでもnが大きくなる毎に円周率=3.14159265358976...に近づいていくことがわかります。正千角形では3.14158…となるので小数第四位まで一致しています。

nが大きくなっていく毎に図形の角が小さくなっていって(角が取れていって)、円に近くなるんですね。

 

よくいるじゃないですか、「お前の世代は円周率が3だろ?ゆとりだね~」みたいに嫌味言ってくる人。ゆとり教育を決めたのは上の世代の人でどっちかというと我々は被害者なんですけどね。

その人にはこういってやりましょう。

「あなたは3.14で勉強したんでしょ。それって所詮正五十八角形でしかないですよ。円じゃないのに円だと思い込んで勉強したんですね。悲しいですね~」って。

 

円周率を何桁で勉強したかではなくて、円周率の本質を知って、このように円周率の近似計算ができる方がよっぽど重要だと思います。そこに数学の本質がある気がしますね。

 

小難しい話でしたが、ここまで読んでいただきありがとうございました。

 

追記:円周率が3.14に最も近くなるのは正五十七角形らしいです。でも、これ対角線が中心を通らないから計算がめんどくさいんですよ(笑)。もし興味があれば計算してみてください。

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