僕の筋トレ備忘録

筋トレ歴5年、ボディビル出場の経験を活かし、真面目に筋トレを議論、科学するブログ

数学的帰納法をわかりやすく説明します。全員ハゲであることの証明です。

どうも、現役理系大学院生のブライアン(@blogerBryan)です。

たまにはゴリゴリの理系っぽいことを書きます。

※まあ、今からする証明は間違ってるんですけどね(笑)。なぜ間違っているかは最後に書きます。

 

でも、数学的帰納法がわからなくて苦労している高校生にはそこそこためになるかも?

自分は普段塾でアルバイトしてるのですが、この話をするとそこそこ反応がよかったので。

 

数学的帰納法という証明方法を皆さんご存知でしょうか?

 

ご存知の方は数学的帰納法の説明は読み飛ばしてもらって結構です。

 

というか数学的帰納法が分かる理系の方だったら「数学的帰納法で全員ハゲであることの証明」とかいって高校生くらいのとき遊んだんじゃないですか?僕だけ?

でも、なぜ間違いか説明できる人は少ないんじゃないでしょうか?

くだらない証明ですが、最後は割と深い結論になる予定ですのでぜひ読んでみてください。

 

数学的帰納法とは別名「ドミノ倒し論法」とも言われます。

「すべて○○である」っていう証明がしたいときに、例えば「すべて」の範囲が1000だとして1000通りの証明をすべてチマチマやるのは不可能です。いや、不可能ではないけど、めんどくさい。なのでドミノ倒しで証明しようという方法ですね。

 

いまドミノが1000枚あるとします。このドミノが1番目から1000番目まで問題なく倒れることを証明するためにはどうしたらいいでしょう?手順を追って説明します。

 

①まず1番目のドミノがちゃんと存在することを確かめます。千里の道も一歩からです。最初のドミノがなければ元も子もありません。

 

②何番目か知らんけど、とりあえず途中のドミノがあると仮定します。その途中のドミノを頭から数えてk番目とします。

あなたは今ドミノの1番目付近に立っているでしょう。ドミノを倒そうと今か今かとその時を待っているはずです。k番目のドミノは遠くにあり、あなたからは見えません。もしくはカーブしていてドアの向こうになっているから見えないかも…でもとりあえずあると思いこむのです。

 

③k番目が存在するという仮定(思い込み)の元、k+1番目がちゃんと倒れるか確かめます。

k番目が倒れたときにちゃんとk+1番目が倒れるか確かめます。もし、k番目とk+1番目のドミノが離れすぎていて、k番目が空振りすれば、ドミノは途中で止まってしまいます。そこでドミノは失敗です。でも、k+1番目がちゃんと倒れれば、ドミノは何枚であろうとすべて倒れます。

k=2であれば2番目と3番目はちゃんと倒れる。

k=3であれば3番目と4番目はちゃんと倒れる。

k=4であれば4番目と5番目はちゃんと倒れる。

        ・

        ・

        ・

k=999であれば999番目と1000番目はちゃんと倒れる。

 

ってな感じでkの値を入れ替えることで全部証明できます。ここではドミノが1000枚として話を勧めましたが、別に10000枚でも100万枚でも一緒です。

数学的帰納法は無敵!

 

よく見る数学の教科書にはこんな感じで書いてるんじゃないでしょうか?

 

①n=1のとき命題が成立することを確かめる

②n=kのとき命題が成立すると仮定する

③②の仮定のもと、n=k+1のときに命題が成立する場合、命題はすべての場合において成り立つ。

 

なんのこっちゃ。って感じですよね。でも皆さんはドミノのイメージを持っていれば大丈夫です。

 

そこで、世の中全員ハゲの証明に移ります。

(証明)

nを髪の毛の本数とする

①n=1がの人がハゲであることは成り立つ (髪の毛1本は当然ハゲ)

②n=kの人がハゲであると仮定する (髪の毛がk本の人をハゲとする)

③n=k+1の人は当然ハゲである

(髪の毛k本の人がハゲなら、そこに1本加わってk+1本になったところでハゲであることには変わりないでしょう。)

よって、人間は皆ハゲである。

(証明終わり)

 

どうでしょう?納得できますか?

私は納得できません。ハゲじゃないので。

でも、これは数学ですよ?数学は嘘は付きません。なぜ、間違っているか説明できますか?

 

同様にこんな証明も…

【みんな貧乏であることの証明】

nをその人の持ってるお金全額とする。

①n=1ならばそのひとは貧乏 (1円しか持ってないのは貧乏でしょう)

②n=kをの人を貧乏と仮定する (k円しか持ってない人が貧乏だとすると)

③n=k+1の人は貧乏である (所持金k円が貧乏なら1円加わったところでその人は結局まだ貧乏でしょう)

(証明終わり)

 

あれ〜おかしいですね。少なくともビル・ゲイツは貧乏じゃないでしょう。

何か間違ってるんでしょうか?

 

あなたは説明できますか?

 

正解は、主観を入れてしまったことが原因です。

 

ハゲ? 髪の毛何本以下がハゲですか?

貧乏? 所持金いくら以下が貧乏ですか?

 

この定義を全く行っていません。こんなの人の感性によるでしょう。

n=kがハゲ、貧乏としたこの仮定がそもそも間違いです。

すなわち主観でハゲ、貧乏を定義していたのです。私がハゲじゃないと思っている人をあなたはハゲだというかもしれません。

数学や科学ではこのような曖昧な基準を設けてはいけないのです。

 

でも、あなたの周りにもいるんじゃないですか?

「これは数学的に証明されている!間違いない!」って言う人。

素人には気づかないかもしれませんが、数学っぽい事をしてるだけで間違ってることめちゃくちゃありますよ?

 

「AならばBだ!よって○○である!」

っていう人。

 

AならばBは本当でしょうか?主観で決められていませんか?

仮定(前提)が偽なら結論は必ず偽です。

 

あなたは「ちょっと待った!」って声を上げれますか?

 

何が言いたいかというと

  • 数学、科学っぽいことをしてるだけで実はそうでないことなんていくらでもある(インチキ手法)
  • 数学的、科学的だからといって信じ込むのは良くない
  • 主観で物事を判断する人はまず前提が間違っているので、説得力は皆無

ってことですね。

特に2番目に関してですが、確かに数学、科学は嘘をつきません。私は偉大な力だと思っています。しかし、あなたが科学的だと思っている事柄は本当に科学的でしょうか?見せかけのインチキ科学ではないでしょうか?(水素水とか、食べたものがチャラになるとか)

 

どうしても科学的などと言われると人は信用してしまいがちです。

でも、科学も万能ではありません。皆さんも以上の事を気を付けて詐欺などに騙されないように気を付けましょう!

そして、高校生の方は数学の勉強頑張ってください!

 

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